Математические познания
Если общее образование, как выразился один из наших даровитейших новых педагогов, Б. Швальбе, есть способность понимать все наше культурное развитие, то ясно, что эта цель не может быть достигнута без математических познаний. Но в таком случае представляется уместным, хотя бы в высших классах наших средних школ, подготовлять юношество, поскольку оно предназначено в будущем содействовать этому развитию, к более общему пониманию того, что собственно является предметом математики, и что математика может дать.
Само собою разумеется, что при этом и речи быть не может о подчеркивании тех трудностей, на которых нам преимущественно пришлось останавливаться в предшествовавшем изложения хотя и в совершенно популярной форме; это явилось бы, конечно, полной нелепостью. Но когда ученик подвинулся уже в своем развитии благодаря духовной гимнастике, какою является преподавание математики в его с давних пор установившихся основных чертах, то ему не трудно будет усвоить также и принципы, лежащие в основе начал исчисления бесконечно-малых, если только ограничиваться существенным и соблюдать должную середину между интуицией и абстракцией.
Понятие координат, которое образует неизменную схему для наглядного изображения всех процессов и находит многостороннее и интересное применение во всех областях повседневной жизни, в медицине, физической географии, политической экономии, статистике, страховом деле и в технических науках; первые элементы исчисления бесконечно-малых в связи с их историческим развитием; развитие понятия функции и предела из элементов учения о кривых линиях,—все это вещи, без которых в настоящее время нельзя получить ни малейшего представления о явлениях природы; знание же их сразу сообщает, нам как бы чудодейственную способность достигнуть понимания, с которым вряд ли какое-нибудь другое может сравниться по глубине и широте и, прежде всего, по надежности. В центре всех успехов научного мышления, которыми так изобилует эпоха, начинающаяся с средины XVII века, стоит понятие функции, это отрешенное от всех трансцендентных умозрений представление сопряжения переменных чисел, при помощи которого взаимоотношения всех явлений выступают с поразительной ясностью: вызвать и развить в юношеском интеллекте этот мир мыслей. Такова великая задача математической педагогики нашей современности.
Вдумчивые педагоги уверяют, на основании собственного опыта, что эти основные понятия при целесообразном изложении часто представляют для учащихся меньше трудностей, чем в некоторых отношениях значительно более абстрактные методы древних которые в скрытой, а подчас и искаженной форме все еще лежат в основе нашего элементарного предодавания, и истинное понимание которых доступно лишь глубокомыслию ученого.