Математика египтян
Математика египтян в соответствии с узким кругозором этого народа отвечала еще тенденции, направленной исключительно на известные практические познания. Но уже среди греков пробуждается геометрическое дарование, которое сначала не основывается на арифметике, а стремится логически формулировать факты внутреннего пространственного воззрения. У них возникают уже глубокомысленные представления учения о величинах, непрерывности, иррационального, предела, пожалуй, также и смутное предвидение понятия функции; но их мудрость не была в состоянии постигнуть эти концепции чисто арифметически. Лишь после того, как изучение природы при помощи наблюдения и эксперимента обогатило человеческий интеллект и чрезвычайно расширило область нашего опыта и воззрения, народились новые идеи и мысли, которые потребовали углубления смутно предста-влявшихся древним концепций. Благодаря представлениям, получаемым из геометрии и механики, удается придумать математический язык, язык Ньютона и Лейбница, который по крайней мере до известной степени раскрывает пред математикой загадки анализа бесконечно-малых. Слышались, правда, жалобы, что с этим новым поворотом утратилась строгость древних; мы пытались показать, что эти возражения теперь окончательно опровергнуты, В этом ретроспективном обзоре перед нами раскрываются силы, от которых действительно зависит прогресс науки.
Одно лишь употребление аксиом походило бы на пресловутую логическую машину Стэнли-Джевонса и приводило бы только к созданию более или менее остроумной игры из области комбинаторики. Непрерывный рост науки при котором содержание ее становится все более и более богатым, основан на способности человеческого духа приобретать все новый опыт, извлекать из него общие воззрения и эти последние в свою очередь претворять в чисто математические понятия, т. е. подчинять их понятию числа; сущность науки характеризуется, следовательно, беспредельным развитием. Если бы все содержание математики можно было рассматривать как замкнутую систему истин, то „рассудок Пуанкарэ", конечно, был бы достаточен для того, что все эти истины постигнуть как „само собой разумеющиеся". Но в этом представлении кроется внутреннее противоречие: сущность знания состоит в постоянном прогрессе.
Разве можно было бы дойти до понятия иррациональных чисел без интуиции непрерывности или усвоить понятие предела без интуиции движения! Понятие перемен ню го числа и функции тоже возникает лишь тогда, когда понятие причинности принимается за руководящий принцип для понимания всех явлений природы. В новейшее время на наших глазах создались учение о множествах, которое своим возникновением, очевидно, обязано пространственной интуиции, но принципиальное свое обоснование имеет в царстве чистых чисел, и затем теория интегральных уравнений, форм бесконечно многих переменных, которая дает возможность разрешать новые проблемы анализа. А кто знает, быть может в будущем новые воззрения опять послужат толчком к новым логическим образованиям, которые дадут возможность простейшим образом преодолеть многочисленные трудности, присущие еще современному состоянию науки?
Интуиция, известный дар предвидения нашей творческой фантазии, который можно сравнить с подлинно-художественным творчеством, с поэтикой, всегда в конечном счете образует тот зародыш, из которого выростают все великие успехи математики; превращение их в арифметическую или числовую символику составляет уже предмет чистой науки.
Вот в этом мы усматриваем объективное, т. е. непреходящее значение чистой математики, которое присущеей, несмотря на ее внешнюю отчужденность от мира. Мы неоднократно указывали на то, что стремление к познанию процессов природы породило развитие математики. Из этого, пожалуй, можно заключить, что, по нашему мнению, математика лишь постольку имеет общую ценность, поскольку она остается полезной этим целям. Такой взгляд был действительно распространен в XVIII ст., и это значение математики во всяком случае отнюдь не приходится преуменьшать. Но прямо противоположное убеждение в совершенно особой ценности чисто лагического умозрения, стоящей выше всякого материального результата, одушевляло уже греков более чем 2000 лет тому назад. Они создали геометрию, настолько по замыслу своему абстрактную, что она только сама по себе, как свободное порождение человеческого духа могла иметь ценность, которую никогда не отрицали за ней даже в дикие эпохи разрушения и войн.
Во время осады своего родного города Сиракуз старик Архимед применяет свои знания для защиты города; но в самой жизни ценит он развитие зачатков тех исследований, которые лишь в новейшее время приняли форму анализа бесконечно-малых. Заслугой XIX века является то, что он вновь установил в полной мере это убеждение в абсолютной ценности высшей разумной деятельности, убеждение, которое вплоть до арабской эпохи расцвета никогда не было совершенно утрачено человечеством.