Геометрические пространства
Эти геометрии, поскольку они относятся к многообразиям двух измерений, можно изобразить наглядно, хотя и не с должной полнотой, если для геометрии Лобачевского взять псевдо-сферическую поверхность Бельтрами, а для геометрии Риманна—сферу. Для построений же трех измерений, напротив, удобнее будет воспользоваться методом Клейна, который самым общим образом вывел эти различные геометрии на основании проективного мероопределения. Это обоснование не-евкли-довых геометрий не вызывает возражений, которые могут быть отчасти сделаны по поводу изысканий, относящихся к двумерным многообразиям, и которые все еще являются излюбленными аргументами против математических теорий пространства. Затем оно гораздо проще принципиально, так как при нем прямые линии и плоскости остаются неизменными как таковые, а вместе с ним сохраняется и все содержание проективной геометрии (независимость этого содержания от аксиомы параллельности установил Ф. Клейн, особенной же формулировке подлежат только метрические свойства, измерение длин и углов, понятие движения н покоющееся на нем понятие конгруэнтности.
Со времени фундаментальной работы Риманна эти три геометрии Евклида, Лобачевского и Риманна-Клейна, или параболическая, гиперболическая и эллиптическая геометрии связаны со значением известного числа, которое соот-ветственно равно, больше или меньше нуля и которое уже Гаусс назвал мерой кривизны пространства. При большом значении этой кривизны результаты эллиптической и гиперболической геометрии, конечно, существенно отличаются от тех, которые дает евклидова геометрия, где мера кривизны равна нулю; но эта разница будет тем меньше, чем меньше эта положительная или отрицательная постоянная отлична от нуля. Другими словами это значит: невозможно вообще разрешить, какая из трех геометрий необходимо должна быть положена в основание наших рассуждений; они все три одинаково пригодны, если речь идет о непротиворечивом изображении геометрических соотношений и если предположить, что высказывания о мероотношениях, т. е. о соотношениях между расстояниями и углами и т. д. делаются только для не очень отдаленных частей пространства, вообще, единственно доступных нашей интуиции, и рассматриваются как равнозначущие, когда они по своим числовым значениям достаточно мало отличаются друг от друга.
В евклидовом треугольнике, например, сумма углов точно равна двум прямым, эллиптический же и гиперболический треугольники имеют соответственно несколько большую и меньшую, вообще переменную сумму углов; в евклидовой геометрии имеются подобные фигуры в строгом смысле слова, в то время как в обоих других геометриях, поскольку мера кривизны не очень многим отличается от нуля,, могут быть только приближенно подобные фигуры. Только прин-цип экономии мышления заставляет нас предпочесть евклидову геометрию. как простейшую. И если мы—а при принятии евклидовой геометрии мы тоже должны это сделать — позволяем себе порожденную в нас таким образом геометрическую интуицию перенести на суждение о так называемом воспринятом пространстве, то ды вынуждены согласиться с утверждением, что математика учит о возможности физических пространств, отличных от евклидова пространства, но не может и не хочет дать средств для решения вопроса, присуще ли которому-нибудь из этих пространств то, что наивное представление понимает под действительностью; каждое из этих пространств, следовательно, может быть с одинаковым правом рассматриваемо как достаточно совершенная картина этой последней.
Нам осталось ответить еще на одно возражение. Откуда, проистекает убеждение в непротиворечивости этих причудливых пространств, к которым можно присоединить даже еще другие в том же роде? Мы основываем его, прежде всего, на том факте, что каждому положению евклидовой геометрии соответствует аналогичное положение в обеих других геометриях, которое непротиворечиво, если оно действительно в евклидовом пространстве, и обратно. Итак, либо всякая из этих геометрий приводит к противоречиям, либо ни одна из них. Но евклидова геометрия не заключает в себе противоречий, потому что благодаря аналитической геометрии мы можем привести с нею в соответствие чисто умопостигаемое царство чисел таким образом, что каждое положение евклидовой геометрии находит свое обоснование в чисто арифметическом положении. Но тем самым доказана непротиворечивость не-евклидовой-геометрии, если толька непротиворечивы арифметические положения.
Все это, однако, только первые зачатки значительно более глубоких исследований, начало которым положили изыскания итальянских математиков, Пеано и его школы, равно как знаменитые „Основы геометрии" Гильберта. Сомнение в правильности евклидовой аксиомы параллельных есть только случайное начало, выдвинутое историческим развитием; мы, очевидно, должны поставить вопрос так: каковы необходимые постулаты интуиции, на которых вообще может быть построена непротиворечивая полная геометрия? Под необходимыми постулатами мы понимаем при этом такие, которые сами по себе доста-точны для ответа на все вопросы, какие мы хотим поставить, и которые вместе с тем оказываются независимыми друг от друга, т.е. не могут быть приведены к еще меньшему количеству постулатов.