Другая геометрия
Нам остается еще рассмотреть, какое влияние развитие чистой математики оказало на области ее приложения. Обратимся сперва к геометрии, где работы XIX столетия вполне выяснили важнейшие спорные вопросы. Прежде всего следует отметить, что отчетливость понятия числа, значительно превосходит то, что мы называем геоме-трической интуицией, даже тогда, когда мы говорим не о непо-средственном чувственном восприятии, а об идеальных интуитивных представлениях, которые, по нашему мнению, пожалуй имеются в нас относительно простейших образований: точки, линии, поверхности, тела. К точкам отрезка мы, согласно аксиоме Кантора, приурочиваем обратимо однозначно значения вещественных чисел; но наша интуиция оказывается бессильной, когда мы между каждыми двумя сколь-угодно близко лежащими рациональными точками прямой должны себе представить опять безгранично много новых рациональных точек; она совершенно отказывается служить нам, когда мы вынуледены между этими рациональными точками вставить еще бесчисленно много ирра-циональных точек. Точно так же совершенно невозможно представить себе вид кривой, которая в одной единственной точке обнаруживает устранимый разрыв непрерывности, между тем как мы, конечно, можем создать графическое изображение того, что одной точке оси х-ов соответствуют две точки кривой, принадлежащие различным ее ветвям.
Наша интуиция здесь не только неточна, как принято было выражаться, но она вообще не в состоянии следовать за приятием числа. Но так как аксиома непрерывности как-бы обязывает нас к этому, то неудивительно, если мы приходим к утверждениям, которые хотя непосредственно и не противоречат нашей интуиции, но все же лежат за пределами ее. Интуиция, руководимая пропессом движения, который уже древним казался загадочным, показывает нам, повидимому, что всякая кривая линия должна иметь направление, касательную, служащую ее продолжением; но анализ вещественных функций говорит нам, что это отнюдь не должно иметь место во всех точках кривой линии, что существуют даже непрерывные кривые, которые ни в одной своей точке не имеют касательной. Чисто геометрические вопросы, напр., система окружностей, постоянно отражающихся друг в друге, с таким успехом разработанная Клейном в теории автоморфных функций, чрезвычайно ясно говорят о существовании образований, которые, будучи вполне определены арифметически, все-таки совершенно недоступны интуиции; дальнейшие примеры в любом количестве дает теория множеств. Мы вынуждены поэтому признать, что интуиция и понятие вообще не могут заменять друг друга, хотя интуиция и играет существенную роль при образовании и оживлении понятий.
Все эти размышления оказали большое влияние не только на форму методов доказательства, из которых пришлось удалить все моменты, сводящиеся к интуиции,—они повлияли и на самые основы геометрии. Геометрия Евклида с древних времен вызывала величайшее удивление своей логической строгостью. Если принять ее аксиомы и постулаты, то, казалось, необходимо нужно было прийти ко всем дальнейшим теоремам. Более точное исследование показало, однако, что некоторые предпосылки не содержатся в самих аксиомах, а заимствуются из так называемого непосредственного воззрения, напр., представление движения, сколь угодно отдаленных частей пространства, засим предложения, которые мы теперь называем аксиомами расположения, а также утверждения о равенстве объемов и площадей фигур. Эти возражения отчасти были известны уже и в древности. Но критика всегда, главным образом, направлялась против правильности одиннадцатой, по теперешнему счету—пятой аксиомы, которая в несколько измененной форме высказывает основное положение, что к данной прямой через данную точку можно провести только одну параллельную прямую.
Неоднократно пытались доказать, что это положение вытекает из остальных аксиом и определений, но безрезультатно. Наконец, Лобачевский в 1829 г. первый — после того как Гаусс еще в 1792 г. пришел к этому результату, но высказывал его только в письмах к близким друзьям — показал, что эта аксиома не есть следствие остальных, и что можно построить свободную от противоречий геометрию и в том случае, если вместо евклидовой аксиомы параллельности ввести предположение, что через всякую точку в плоскости, содержащей прямую, могут быть проведены две собственно параллельные прямые к этой прямой, в то время как существует еще сверх того бесконечно много прямых, вообще ее не пересекающих.