Механическое понимание природы
Только в самых кратких словах можем мы, теперь коснуться предметов, которые механическому пониманию природы XVIII столетия должны были, разумеется, казаться особенно важными, а именно, решения дифференциальных уравнений. Очень скоро обнаружилось, что только для небольшой группы дифференциальных уравнений, к которым приводят уже простейшие вопросы, возможно приведение к обращению процесса дифференцирования, т. е. решение посредством так наз. квадратур. „Institutiones calculi integralis" Эйлера дают нам столь же остроумное, сколько и плодотворное трактование дифференциальных уравнений по этому методу, который благодаря учению Ли о группах преобразований получил в наше время совершенно новую форму, отличающуюся многими принципиальными точками зрения. Исключительно благодаря тому, что исходили из взгляда, покоющегося собственно на механическом понимании природы, что всякое дифференциальное уравнение разрешимо, удавалось во многих случаях представить это решение в удовлетворительной для применения форме, хотя для этого нередко прибегали к приемам, которые не были вполне оправдываемы.
И здесь также Кош и принадлежит честь создания фундамента. Он не только показал, что система вещественных дифференциальных уравнений первого порядка с одним независимым переменным—а к этому случаю может быть приведена всякая система обыкновенных дифференциальных уравнений определенного порядка—имеет при известных предположениях одно и только одно определенное решение, но позднее он своим „Calcul des limites* распространил эту теорему и на комплексную обяасть. Его исследования были вплоть до новейшего времени упрощаемы и совершенствуемы. Мы должны здесь отказаться от дальнейших указаний относительно природы этих решений, так как при этом нельзя обойтись без терминологии теории функций комплексного переменного. Заметим только, что уже Гаусс в своей работе о гипергеометрическом ряде (как это во всем объеме выяснилось, впрочем, только позднее) наметил основания той теории линейных дифференциальных уравнений, которая со времени знаменитых работ Фукса окончательно отрешается от старой точки зрения нахождения решения посредством ряда квадратур и вместо этого вводит непосредственное изучение интегралов при помощи теории функций Коши-Вейерштрасса.
Интерес к этому классу дифференциальных уравнений обнаружился чрезвычайный, с одной стороны, в виду их особенной простоты, а с другой стороны, в виду некоторых вновь возникавших трудностей; не удивительно поэтому, что частные дифференциальные уравнения, которые собственно для физических приложений являются еще более важными, до сих пор не исследованы с такой же обстоятельностью. И здесь-также Коши уже в 1842 г. сделал первый шаг, но только исследования Дарбу и Софии Ковалевской обнаружили однозначное существование решений, удовлетворяющих известным начальным условиям, но крайней мере для одного вполне определенного вида частных дифференциальных уравнений, а рас-смотрение особого класса их, важного для физических изысканий, поставлено было, благодаря принципу Дирихле и позднее благодаря замене его вполне строгими методами, в полную независимость от вышеуказанных предположений.
В последние десять лет, благодаря началу, положенному в 1900 г. трудами И. Фредхольма, и благодаря широким точкам зрения, внесенным в исследование работами Д. Гильберта, выдвинулась теория интегральных 'уравнений и успела приобрести исключительное значение, так как при ее помощи оказались разрешимыми задачи, из теории дифференциальных уравнений, которые до того действительно поддавались разрешению только в отдельных случаях. Здесь мы должны, однако, отказаться от общего очерка этой теории, которая пользуется исследованием бесконечных определителей, относящихся к линейным уравнениям с бесконечно многими неизвестными, от квадратичных форм с бесконечно многими неременными, и которая в состоянии бросить совершенно новый свет на важнейшие задачи чистой и прикладной математики, особенно же на задачи теоретической физики.
Понятие интеграла функции уже Лейбниц в принципе познал, как предельное значение суммы. Но под влиянием великих основных трудив Эйлера в области анализа, это понятие превратилось в чисто формальное, а именно, в обращение действия дифференцирования. В виду этого понятие интеграла оставалось в сущности совершенно проблематичным во всех тех случаях, когда такое обращение не могло быть произведено посредством известных операций. Крупной заслугой Коши является то, что он вновь ввел понятие определенного интеграла как предела суммы и вместе с тем указал критерии существования этого предела.
В частности предел всегда существует, когда подлежащая интегрированию функция непрерывна. Это представление было, однако, чрезвычайно расширено Риманном. Этот последний заметил, что существование такого предела отнюдь не обусловлено непрерывностью интегрируемой функции, что оно может быть доказано для обширного класса разрывных, но конечных функций. Критерий Риманна поставил, таким образом, понятие определенного интеграла на фундамент, по существу своему всецело независимый от дифференциального исчисления, и тем самым создал из интегрального исчисления метод, идущий несравненно дальше узко специальных предпосылок дифференциального исчисления, которые исходят из существования производной функции. Благодаря этому стало возможным говорить о вычислении площадей, о длине дуг и т. д. для случаев, которым вообще не соответствуют какие - либо доступные наглядному представлению образования.
С другой стороны, исследование Коши могло быть применено и к многократным интегралам, которые получаются, когда подлежащие интегрированию объемы, площади и т. д. совершенно произвольным образом разлагают на меньшие части.