Взаимоотношения между вещественными числами
He-математику, однако, трудно будет понять, почему именно переход к мнимым числам является пригодным для раскрытия столь многих новых свойств понятия функции. Почему необходимо сперва перейти в область мнимого, чтобы найти истины, которые, в конце концов, должны ведь послужить поводом к новым утверждениям об отношениях между вещественными числами? На это можно ответить аналогией.
Кто переезжает из одного места в другое всегда по прямому пути, накопит очень мало наблюдений, гораздо меньше того, кто пользуется всякий раз иным маршрутом. Точно так же имеются геометрические теоремы, которые невозможно доказать на плоскости, но которые немедленно же становятся доказуемыми, как только мы принимаем в соображение значительно более богатые свойства пространства. Подобно этому числовая непрерывность в комплексной плоскости тоже значительно более богата, и ответ на вопрос заключается в том, что благодаря взаимоотношениям в числовой плоскости удается раскрыть обстоятельства, которые при ограничении вещественной областью, по крайней мере вначале, совершенно не были бы замечены .
На этом основано и то, что почти все исследования в области теоретической физики вообще невыполнимы, если не применять функций комплексного переменного, и только в конечных результатах, которые должны относиться к действительным обстоятельствам нашего наглядного представления и опыта, совершается в них переход к вещественным числам. Нов,ичек в математике удивляется, когда узнает, что при помощи гиперкомплексных числовых Систем, каковы, напр., система знакопеременных чисел или кватернионов, раскрываются новые взаимоотношения между вещественными числами. Так, из первых вытекают основания теории определителей, из вторых—если взять особенно поразительный пример—получается теорема Эйлера о преобразовании произведения двух сумм четырех квадратов в аналогичную сумму. Простое рассуледение показывает, однако, что коль скоро введены уже вещественные числа во всем их объеме, то все эти методы приводят лишь к соотношениям, которые могут быть добыты п в одной только вещественной области вэтом заключается существенное отличие от вышеприведенного случая про-транственной геометрии).
Дело в том, что методы эти всегда основываются только на уравнениях, которые действительны в вещественной области, но которые по сложности своей зачастую не могут быть непосредственно выведены. Наиболее ярко это иллюстрируется на исключительном прогрессе, которым анализ обязан формуле Эйлера.