Численность множества
Понятие представляемых вещей, в психологическое развитие которого, как объединения ряда повторенных актов мышления, мы не можем здесь вдаваться, мы будем рассматривать как ясное само по себе; равным образом, мы для обоснования простейших сочетаний этих целых чисел, о которых учат основные правила арифметики для сложения, вычитания, умножения и деления, сошлемся на непосредственную логическую достоверность, с которой совершаются эти сочетания.
Целые числа, но только единственно они, обладают тем свойством, что их можно рассматривать как знаки для представлений, связанных с реальными вещами вне нас. Иначе обстоит уже дело с дробными числами, хотя здесь мы, пожалуй, сталкиваемся еще не с очень существенными трудностями. Но зато вплоть до середины прошлого столетия и даже позднее еще много сомнений возбуждала отрицательные числа; людей непосвященных, которым обыкновенно недоступна их подлинная сущность, они все вновь укрепляют во взгляде, что в метематике отнюдь не все основано на чисто дедуктивных доказательствах. Предпринято было бесчисленное множество попыток для преодоления этой трудности: для отрицательных чисел пытались ссылаться на такие же относящиеся к реальному Mipy акты мышления, как и для положительных чясел; обращались к пространственному представлению, как к несомненно надежному источнику познания, и изображали положительные числа в виде точек на прямой, числовой оси, справа от нулевой точки, а отрицательные числа в виде точек на той же прямой слева от нулевой точки. Сочетания, выражающиеся в сложении и вычитании, таким путем, действительно, можно было объяснить, но положение, что произведение двух отрицательных чисел есть опять положительное число, с этой точки зрения вновь представляло трудности, которые удавалось затушевать, но не преодолеть. Признавали даже эти положения, как это сделал иезуит Клавий (1612), совершенно непостижимыми, хотя и правильными фактически.
В сущности совершенно такие же сомнения возникли при введении так называемых мнимых чисел. Под извлечением квадратного корня из какогонибудь числа а понимают, как известно, определение такого числа, которое, будучи само на себя помножено, дает а Но если а отрицательное число, то нет ни положительного, ни отрицательного числа, которое удовлетворяло бы этому требованию, потому что квадрат всякого положительного или отрицательного числа всегда положителен. Несмотря на это, нельзя было обойтись без введения числовых знаков для этих мнимых чисел, и, введя мнимую единицу, стали над ними, равно как над комплексными числами производить действия совершенно так же, как над обыкновенными, вещественными числами. Таким путем получили массу поразительнейших результатов, в правильности которых невозможно было сомневаться, так как во многих случаях они могли быть добыты изысканиями, не заходящими в область мнимого.
Мало помалу между тем познали, что в основе счета, т.е. законов сочетания целых чисел, лежат известные формальные законы, на которых единственно покоится счет, так что нет надобности каждый раз вновь обращаться к представлению того, что могут означать собой числа в их отношении к действительным объектам. Тем самым открылось совершенно новое понимание понятия числа. Так как вычитание двух равных чисел или вычитание большего из меньшего невозможно, но такого рода требование все же неизменно предъявляется к нашему интеллекту то нужно было ввести новые числовые понятия, которые удовлетворяли бы этим требованиям. Затем уже остается только показать, насколько эти чисто логические создания нашего рассудка допускают вычисления, т.е. закономерное сочетание. Когда, например, введены ноль и отрицательные числа, как знаки для выражения определенного акта мышления, то задача состоит в том, чтобы наиболее подходящим образом установить эти правила счета. Но это достигается особенно наглядным образом, если можно без противоречия придерживаться тех же формальных законов, которым подчинены вычисления с натуральными целыми числами. Ибо тогда возникает чистый схематизм счета, благодаря которому делаются возможными общие, ни чем более не стесненные приемы.