Мнимые числа
В действительности общее применение мнимых чисел получило право гражданства лишь после того, как Гаусс изображением этих чисел на числовой плоскости представил свободное от противоречий, связанное, впрочем, с пространственным представлением учение о сочетании этих чисел, сводившееся к чисто формальному расширению известных правил вычисления, еще более значительным било влияние поразительных результатов изучения этих чисел, которых сумели добиться Гаусс в своих изысканиях в области теории чисел, и Абель, Якоби и Кош и — в теории функций комплексных переменных.
Завершено ли, однако, понятие числа комплексными числами? Оказывается, правда, что пока нет надобности в переходе к дальнейшим числовым знакам, так как все вычисления, какие возникают в области арифметики, она вполне может выполнить при помощи комплексных чисел, последние образуют законченную в себе систему чисел. Но в виду того, что обнаружилась чрезвычайная полезность вычислений с комплексными числами благодаря их особенной подвижности, возник такого рода вопрос: не получится-ли еще большее усовершенствование счета, если на подобие того, как от прямой линии, числовой оси вещественных чисел, перешли к числовой плоскости Гаусса, перейти к пространству, в котором каждая точка с тремя ее координатами соответствовала бы числовому знаку?
Этот вопрос привел к разносторонним изысканиям относительно гиперкомплексных чисел. Английскому математику В. Р. Гамильтону мы обязаны системой чисел, кватернионов, которая, хотя и не подходит более под принцип перманентности и только в одном предельном случае опять ему подчиняется, но, пожалуй, впервые доказала возможность и полезность чисто логических числовых образований. Но, собственно, на вопрос, может ли система, стоящая над системой комплексных чисел, удовлетворить принципу перманентности, этим еще не было дано ответа. После того как уже Ганке рассмотрел в главных чертах этот выдвинутый Гауссом вопрос и пришел к отрицательному на него ответу, Вейерштрасс и Дедекинд показали самым общим образом, что если сохранить формальные законы вещественных чисел, которые пришлось, впрочем, для этого несколько более точно логически формулировать, то вообще расширение за пределы комплексных чисел невозможно или но крайней мере излишне, так что вычисления с комплексными числами обладают, таким образом, характером полной законченности.
Гораздо большую трудность представляло зато логическое обоснование иррациональных чисел, которые, собственно говоря, молчаливо уже предполагались нами в предшествовавших рассуждениях.
Греки познали, что отношение двух отрезков не всегда может быть выражено рациональным числом или дробью. Возможны случаи, когда два отрезка точно измеримы одной и той же единицей длины, которая содержится, скажем, а раз в первом и b раз во втором; а\Ь называется тогда отношением обоих соизмеримых отрезков. Пифагорейской школе приписывают уже знание того, что диагональ и сторона квадрата никогда не могут быть выражены как целые кратные одной и той же единицы длины, т. е. что они несоизмеримы. И вот, вместо того, чтобы обобщить понятие числа, как это нам представляется наиболее естественным, греки отказались от применения чисел к геометрии и пытались самостоятельно построить геометрию при помощи весьма, правда, остроумного метода пропорций или отношений. Что имеются числовые действия, которые не могут быть выполнены по своим условиям никаким рациональным числом, известно всякому: сюда относится, напр., извлечение квадратного корня из всякого рационального числа, которое само не есть квадрат. Каждый из этих новых числовых знаков можно было бы, конечно, подчинить правилам перманентности и, таким образом, восстановить схематизм счета, но такой метод никогда не приведет к обоснованию права на существование всех мыслимых иррациональных чисел.
Поводом к образованию иррациональных чисел на самом деле служит представление непрерывности величин, в про-стейшем случае, следовательно, непрерывности прямолиней-ного отрезка, которую надлежало выразить в числах, если только не хотели отказаться от математической формулировки сущности процессов природы, которым, повидимому, свойственна непрерывность.
Дедекинду должно быть вменено в заслугу, что он впервые истинно философским образом преодолел заключающуюся здесь трудность. Он исходил при этом из намерения описать сущность непрерывности прямой линии, и 24-го ноября 1858 г. он нашел, что она состоит в следующем свойстве:
Если все точки прямой распадаются на два класса таким образом, что каждая точка первого класса лежит влево от каждой точки второго класса, то существует одна и только одна точка, которая производит это разделение или сечение.