Понятие непрерывности
В этом обзоре мы встретились с появлением целого ряда новых понятий: переменного числа или переменной, функциональной зависимости, предела. Но тут же мы сталкиваемся еще с одним понятием, отчасти лежащим в основе всех этих представлений, с понятием сплошности или непрерывности. Движению, посредством которого образуется линия, и тем самым этой линии мы приписываем свойство не миновать нн одной точки, т. е. именно свойство непрерывности, которое мы считаем нужным требовать от всех процессов в природе, поскольку мы намерены приводить их к явлениям движения. Посему, если мы хотим посредством понятия числа выразить эту непрерывность, то число само должно быть сделано непрерывно изменяющимся.
Но каким образом в математику, издавна, поводимому, покоившуюся на прочном фундаменте арифметических правил, которые относятся прежде всего к действиям над целыми числами, и на геометрических аксиомах и постулатах Евклида, можно было ввести совершенно новые понятия непрерывности, предела (или бесконечного приближения к таковому) и бесконечности, понятия, основывавшиеся, невидимому, на совершенно шатких и неопределенных идеях, — и вместе с тем не изменить коренным образом характера математики, как источника познаний, стоящих выше всяких сомнений?
Это возражение было неоднократно выставляемо, между прочим, и в тот замечательный период развития исчисления бесконечно-малых, когда некоторые, повидимому, совершенно отказались от требования логической строгости, характерной для методов античных математиков. Импульс, с которым открытия в области математики тогда буквально обгоняли друг друга, был в самом деле столь могуч и неотразим, что иные представления вводились совершенно без размышлений об их логической обоснованности. Сомневающимся указывали на свободные от противоречий результаты нового учения, как на лучшее доказательство его правильности. Отчетливее всего это, пожалуй, сказывается в фундаментальных трудах великого математика Л. Эйлера, который впервые попытался дать общий обзор анализа бесконечно-малых, сохранивший непреходящее значение по сей день, хотя с принципиальным его обоснованием мы отнюдь уже не можем согласиться. Подобного рода несовершенства чуть ли не с необходимостью проявляются во всякой науке, которая находится в стадии особенно быстрого развития, когда вдохновение предвосхищает результаты методического познания, но они не составляют настоящей помехи для прогресса, особенно там, где неправильность немедленно должна обнаружиться вследствие своего противоречия с уже установленными познаниями, как это имеет место в математике, располагающей в любой момент бесчисленным множеством контрольных средств, чего в такой же мере нет ни в одной другой науке.
Но математика издавна считала своей высшей целью познание само по себе, а не моральное убеждение в обоснованности своих методов, хотя бы и подтвержденное сколь-угодно многими проверками. Математика требует построения логически необходимой систематической связи, основанной на исключительном употреблении логических операций.
И вот работа большой части XIX столетия была направлена на то, чтобы вновь доставить абсолютное господство чистой математике, т.е. доказать, что понятие числа и действии над ним есть исключительный фундамент всего матема-тического познания. Таким образом, не только было создано понятие переменного числа, и совершилось развитие общей арифметики в вполне законченную науку, но понятие функции и выражение функций было чрезвычайно расширено посредством соответствующих вспомогательных средств; была доказана полнейшая логическая обоснованность понятий бесконечно-малого и бесконечно-большого, и тем самым была выяснена основа исчисления бесконечно-малых; наконец, в значительной части была разрешена и проблема о существовании решений дифференциальных уравнений, которой математика XVIII столетия почти-что не коснулась
Итак, прежде всего нужно остановиться на учении о самих числах. Ибо источником всех сомнений являлось именно унаследованное от индусов понятие числа, которое в своих существенных чертах оставалось совершенно неясным.