Проблемы касательной
Лейбниц, который значительно ближе держался проблемы касательной и обратной проблемы и исходил из представлений, которые уже Б. Паскаль и И. Барроу ввели в трактование задач этого рода, напротив, пришел к совершенно другому методу: непосредственно примыкая к геометрическому представлению, он положил в основу своих рассуждений бесконечномалые величины.
Что длина отрезка кривой тем меньше отличается от соответствующей ему хорды, чем менее этот отрезок; что касательная тем более совпадает с секущей, чем короче расстояние между точками пересечения последней с кривой; что объем шара определяется тем точнее, чем больше число вписанных пирамид, вершины которых находятся в центре шара, а углы основания лежат на поверхности его. и т. д., все это представляется настолько несомненным, — хотя оно совершенно несовместимо с строгим логическим мышлением греческих геометров,—что уже Кеплер, последовательно применяя эти представления, использовал их для многочисленных определений площадей и поверхностей геометрических тел. Лейбниц же, отчасти посредством более отчетливых определений понятий, отчасти посредством метода, с чрезвычайной легкостью применимого ко всем случаям, сумел превратить эти расплывчатые представления, столь далекие от точности античной геометрии, в чуть ли не механический счет с этими бесконечно малыми числами или величинами, которые должны были быть именно меньше всяких других сколь угодно малых чисел или величин.
Отныне открылся путь для дальнейшего развития исчисления бесконечномалых. Стало ясно, что во всех процессах природы,— а их-то, главным образом, имела в виду тогдашняя наука,— мы встречаемся с совершенно таким же положением вещей, как и в геометрических и аналитических изысканиях. Определенная группа неизвестных процессов, которые благодаря своему свойству быть измеряемыми допускают числовое выражение, дана при помощи их флюксий или производных относительно группы независимых переменных (величин времени или длины); требуется найти эти неизвестные процессы. Принятие точки зрения Лейбница имело вместе с тем еще то преимущество, что употребление бесконечномалых величин чрезвычайно облегчало наглядное понимание задач.
Таким образом, малопомалу удалось всецело выразить в системе дифференциальных уравнений не только вопросы геометрии и анализа, но и всю механику, и притом не только астрономическую или механику неба, но и молекулярную механику, теорию упругости, гидродинамику, теорию распространения теплоты, а позднее также учение об электричестве и магнетизме, поскольку уже установлены были экспериментальные основы этих явлений; решение этих уравнений должно было заключать в себе все, что вообще доступно познанию. Никогда еще никакая наука не праздновала таких триумфов, как математика в период героев исчисления бесконечно малых, Бернулли, Эйлера, Даламбера, Лагранжа, Лапласа. Проникновение математического анализа во все области мира явлений в XVIII ст. явилось воистину небывалым триумфальным шествием. Проблемы, о разрешимости которых в прежнее время даже думать не смели, теперь были поставлены и немедленно же, чуть ли не шутя, разрешены, ничто в области точных естественных наук не казалось более недоступным человеческому уму.
Как завершение этого периода, следует рассматривать Лапласа, высказавшего гордую мысль, к которой мы теперь, впрочем, вряд ли можем отнестись иначе, как к крупному преувеличению: Ум, который в определенный момент познал бы состояние всего материального мира, сумел бы при помощи вспомогательных средств математического анализа сразу обнять прошлое и будущее мира. Течение космоса урегулировано большой системой дифференциальных уравнений, которые вплоть до отдаленнейших времен предуказывают течение прошлых и будущих событий.