Галилей о движении падающих тел
Галилей своим исследованием о движении падающих тел дал первый толчок к созданию действительной кинематики и динамики, т. е. учения о явлениях движения тел . В частности мы ему обязаны основными понятиями скорости и ускорения. О скорости говорят, правда, и в повседневном обиходе. Но это понятие вполне ясно лишь тогда, когда точка движется по своему пути равномерно, т. е когда количество единиц пути, деленное на соответствующее количество единиц времени, постоянна имеет одно и то же значение; это отношение, в обиходном языке обозначаемое как „путь на время", и есть скорость. В противном случае зто отношение, исходя из определенной начальной точки, будет ииеть, в зависимости от промежутка времени, соответствующего конечной точке, переменное значение, которое принято называть средней скоростью. Железнодорожному поезду, который в 2 часа проходит 120 километров, мы приписываем среднюю скорость приблизительно 16,6 метров в секунду, хотя мы отлично знаем, что эта скорость относится только к воображаемому, равномерно движущемуся поезду, который отходит и прибывает в одно время с действительным поездом.
Но как придти теперь к понятию скорости в определенный момент? Мы, как нам кажется, подмечаем, что чем меньший промежуток времени мы берем, тем средняя скорость все более приближается к определенному так называемому предельному значению, которое и есть скорость в начальный момент. Выражаясь современным языком, мы скажем, что величина скорости есть производная пути по времени. И тут необходимо всячески подчеркнуть то обстоятельство, что даже такое, повидимому, простое понятие, как понятие скорости, не может быть формулировано без помощи понятия предела, основанного на представлениях, исчисления бесконечномалых представлениях, которые единственно ведут от интуитивно сложившегося убеждения к логическому уразумению.
Итак, оказывается, что определение скорости по величине и направлению вполне совпадает с проблемой касательной. Поэтому нет ничего удивительного в том, что при кривых, образуемых процессами движения, этим прямотаки пользовались для построения касательных.
Но отсюда вытекало много весьма важных дальнейших следствий. В силу теоремы о параллелограмме движений мы приписываем скорости составляющие скорости по осям координат, которыми она вполне определяется по направлению и величине. А в таком случае простейшие соображения показывают, что само движение вполне дано, если для каждого момента известны составляющие скорости, как функции времени и положения движущейся точки в этот момент, и если дано также начальное положение. Мы, таким образом, в состоянии описать процесс движения, если только мы в каждый данный момент знаем составляющие его скорости.
Если обозначить dx dy dz эти последние как производные координат по времени, то, по нашим современным терминам, мы интегрируем систему дифференциальных уравнений первого порядка. В частности, следовательно, дело сводится к нахождению кривой, которая имеет данное „отношение наклона" к оси агов. Решение этой проблемы дает Лейбниц (Acta erudit. 1693, „Klassiker" Оствальда № 162): в цитированном труде он описывает даже интеграф, который пригоден для вычерчивания кривой на подобие интеграфа, лишь недавно изобретенного А. Абакановичем.
Тем самым была разрешена и проблема определения площадей, если вообще предположить, что площадь, ограниченная, напр., прямолинейной осью ху двумя к ней перпендикулярными ординатами а и у и отрезком кривой, заключ иным между их конечными точками, может быть измерена числом, ибо неясо. средственно вытекало, что скорость, с какой растет площадь F,а именно равна у, а тем самым было дано и Ь при помощи интегрирования.
Но природа помощи одного только понятия скорости механика никогда бы не достигла того неизмеримого значения, какое она вскоре приобрела. Скорости и их функциальная зависимость от места и времени с трудом распознаются при помощи наблюдения и уже в простейших случаях выражаются не особенно наглядными законами. Но если, в свою очередь, нанести на осях составляющие скоростей, подобно координатам, то получится приуроченное к первоначальному движению новое движение, составляющие скорости которого мы называем ускорениями первоначального движения ; это суть вторые производные координат. Первоначальное двилсение опятьтаки вполне определенр системой дифференциальных уравнений второго порядка, если только известны начальное положение и начальные скорости точки.
В случаях, которые прежде всего были рассмотрены, а именно, при падении тел и при движении планет, эти ускорения являлись весьма простыми функциями положения движущейся точки. Вследствие этого гениальный Ньютон имел возможность доказать, что кеплеровы законы движения небесных тел являются необходимыми результатами общего положения, в котором весьма существенную роль играли, впрочем, некоторые метафизические представления, напр., абсолютного пространства, абсолютного времени, силы и ее отношения к массе и ускорению, и относительно понимания которого в общераспространенных изложениях механики до сих пор еще господствуют разнообразные представления.