Математика греков
Математика греков, при всей высоте своего развития не сумела дойти до общего решения двух особенно важных проблем, а именно, построения касательной, т. е. определения прямой, соприкасающейся с кривой в данной точке, и определения площадей. Эти вопросы перешли в совершенно иную стадию, когда под влиянием Декарта геометрия свелась к уче-дию о числах. Если хотят, напр., указать кому-либо местоположение какого-нибудь растения на горизонтально-протяженном поле, прорезываемом дорогой, то ему говорят: пройди по дороге расстояние в х метров, затем сверни под прямым углом направо (или налево), пройди у метров прямо вперед по новому направлению, и ты придешь к этому растению. Этот крайне примитивный принцип обозначения положения точки в пространстве координатами х, у, г употреблялся с самых древних времен, но впервые Декарт освободил понятие координат от лежащего в его основе представления величины и рассматривал эти вариации как чистые числа, которые, впрочем, могут быть применены только будучи отнесены к употребляемой в каждом данном случае единице длины Благодаря этому понятию координат всякое геометрическое исследование., очевидно, сводится к исследованию соотношений между числами, т. е. законов их сочетаний, предлагаемых арифметикой,—геометрия переводится на язык учения о числах.
Всякая точка, например, плоской кривой линии определяется, следовательно, двумя ее координатами х и уу которые следует мыслить отложенными по двум, скажем, перпендикулярным осям; к произвольно выбранному внутри известных пределов х относится вполне определенный у (иногда несколько у); у является здесь зависимым от х и называется функцией его. Прямая, соединяющая две точки кривой А и В, называется ее секущей; по наивному воззрению, которому мы здесь следуем, она превращается в касательную в точке А, если секущая вращается вокруг точки А до тех пор, пока точка В не совпадет с точкой Л; мы говорим, что предельное положение секущей есть касательная. Пользуясь ныне употребительными терминами, мы скажем, что тригонометрический тангенс угла, который касательная к кривой составляет с осью y-ов, есть производная зависимой переменной у по независимой переменной х. Существует ли на самом деле такое предельное положение, об этом вначале вовсе не думали, так как в случаях, с которыми прежде всего приходилось иметь дело, исследование само оправдывало это допущение, либо кривая прямо определялась при помощи процесса движения.
К вполне аналогичным вопросам приводило также и изучение простейших процессов природы, которое перевивало тогда пору исключительного расцвета, особенно в Италии, — вспомним только Леонардо да Винчи и воссоздателей статики, Галилея и его учеников
При всяком процессе в природе известные состояния представляются нам связанными таким образом, что наличность первого класса состояний постоянно сочетается с наличностью второго классу, между тем как обратное не всегда имеет место; состояния первого класса мы привыкли называть следствиями, состояния второго класса—причинами. Один процесс, таким образом, представляется нам зависимым, как результат, от другого, от его причины, а формальное представление этой зависимости, т. е. взаимное сопряжение каких-нибудь физических состояний, взятое независимо от всяких метафизических идей, опять дается нам понятием функций.
Так, например, если ограничиться простейшими примерами, высота ртутного столба в термометре есть функция температуры; температура точки в стержне, один конец которого нагревается постоянным источником теплоты, является функцией расстояния от этого конца и истекшего времени; давление газа, заключенного в нерастяжимый сосуд, является функцией температуры, которая ему сообщена.